基础题库

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 与圆 $x^2+y^2=2$，在椭圆上取一点 $M$ 作圆的切线，切点弦与坐标轴交于 $P,Q$，$O$ 为坐标原点，求 $S_{\triangle POQ}$ 的最小值。

四个不超过 $20$ 的正整数的最小公倍数的最大值为（　） A. $77520$　 B. $83980$　 C. $96900$　 D. 前三个答案都不对

张庄人在周一、三、五说谎，李村人在周二、四、六说谎，其余日说真话。同一天遇到分别来自两村的两个人，两人都说“前天是我说谎的日子”。这天是星期几？

若整数 $n$ 使得多项式 $f(x) = 3x^{3} - nx - n - 2$ 可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积, 则所有 $n$ 的可能值的和为________.

若实函数 $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 满足对任意实数 $x$ 都有 $f\left( 2021x - f(0) \right) = 2021x^{2}$ ,则 $f(2021) =$ ________.

设 $S\subset\mathbb R$ 是非空有限集合，$|S|$ 表示 $S$ 中元素的个数，并定义 $$m(S)=\frac1{|S|}\sum_{x\in S}x, \qquad S'=\bigl(m(A): A\subseteq S,\ A\ne\varnothing\bigr).$$ 这里 $S'$ 是按非空子集计重的多重集，$m(S')$ 为其中 $2^{|S|}-1$ 项的平均值。证明：$m(S')=m(S)$。（校订：原题若把重复平均值去重，结论不成立。）

已知数列 $\{{a}_{n}\}$ 满足 ${a}_{1}= -3$ ,且 $2{a}_{n+ 1}{a}_{n}+ {a}_{n+ 1}+ 4{a}_{n}+ 3= 0$ ,求数列 $\{{a}_{n}\}$ 的通项公式.

（2017 北京大学博雅计划）由 $1,4,7,10,\ldots,2014,2017$ 依次拼接成十进制数 $1471013\cdots20142017$，求它除以 $9$ 的余数。 A. $1$　 B. $4$　 C. $7$　 D. 以上答案均不正确